"Прямая y=2x+5 является касательной к графику функции y=x3-4x2+6x+5. Найдите абсциссу точки касания."
Привет! Давай разберем твою задачу.
Мы имеем прямую \(y = 2x + 5\) и функцию \(y = x^3 - 4x^2 + 6x + 5\). Задача состоит в том, чтобы найти абсциссу точки касания.
Чтобы линия была касательной к графику функции, необходимо, чтобы они пересекались в одной точке и имели одинаковый наклон в этой точке.
Это выражается в двух условиях:
- Значение производной функции должно быть равно наклону прямой: \(f'(x) = 2\).
- Также значение функции в этой точке должно совпадать с значением прямой: \(f(x) = 2x + 5\).
Находим производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 \] Мы ставим это равным 2: \[ 3x^2 - 8x + 6 = 2 \implies 3x^2 - 8x + 4 = 0 \]
Здесь мы решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \] Это дает два корня: \(x = 2\) и \(x = \frac{2}{3}\).
Теперь нам нужно проверить, какой из корней соответствует второй части условий (т.е. совпадение значений функций):
- Подставляя \(x = 2\) в функции: \[ f(2) = 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 12 + 5 = 9 \] \[ y = 2 \cdot 2 + 5 = 9 \] Значения совпадают, значит это – точка касания.
Проверка \(x = \frac{2}{3}\) не удовлетворяет уравнению при подстановке.
И в итоге, правильный ответ — это \(x = 2\). Твой ответ "4" оказался неверным, потому что ты, видимо, не учел, что нужно проверять оба условия касания.
Как ты считаешь, всё ли понятно? Поставь, пожалуйста, лайк или дизлайк!
