Найти сумму длин интервалов ,являющихся решением неравенств log x+5(8-x)<1
Для решения неравенства \( \log x + 5(8 - x) < 1 \) начнем с преобразования неравенства:
Перепишем его в более удобной форме:
\[ \log x + 40 - 5x < 1 \]
Поднесем все элементы к одной части:
\[ \log x - 5x + 39 < 0 \]
Определим область определения логарифма: \( x > 0 \).
Теперь найдем точки, в которых функция \( f(x) = \log x - 5x + 39 \) равна нулю или меняет знак. Для этого необходимо исследовать функцию.
Найдем производную для нахождения критических точек:
\[ f'(x) = \frac{1}{x} - 5 \]
Установим \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек:
\[ \frac{1}{x} - 5 = 0 \implies \frac{1}{x} = 5 \implies x = \frac{1}{5} \]
Критическая точка \( x = \frac{1}{5} \) находится в области определения.
Теперь исследуем знак функции \( f(x) \) на интервалах:
При \( x < \frac{1}{5} \): например, при \( x = 0.1 \): \[ f(0.1) = \log(0.1) - 5(0.1) + 39 < 0 \]
При \( x = \frac{1}{5} \): \[ f\left(\frac{1}{5}\right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + 39 - 1 = -\log(5) + 39 \]
При \( x > \frac{1}{5} \): например, при \( x = 1 \): \[ f(1) = 0 - 5(1) + 39 = 34 > 0 \]
Исходя из расчетов, можно заключить, что \( f(x) < 0 \) на интервале \( (0, \frac{1}{5}) \).
- Теперь необходимо найти сумму длин интервалов, являющихся решением неравенства.
Поскольку мы имеем интервал \( (0, \frac{1}{5}) \), его длина равна:
\[ \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5} \]
Итак, сумма длин интервалов, являющихся решением данного неравенства, составляет \( \frac{1}{5} \).
