Давайте проанализируем каждое из предложений.
"Играя в шахматы, развиваются мыслительные способности." - Это предложение некорректно, так как подлежащее (мыслительные способности) не согласуется с деепричастным оборотом (играя), который относится к лицу, играющему в шахматы.
"Играя в шахматы, ему не было равных." - Это также не совсем правильно, потому что оборот "играя в шахматы" не согласуется с подлежащим "ему". Правильнее было бы сказать: "Играя в шахматы, он не имел равных."
"Играя в шахматы, будь предельно внимателен и собран." - Это предложение не совсем логично, так как призыв "будь" и деепричастный оборот не согласованы. Правильнее сказать: "Играя в шахматы, будьте предельно внимательны и собраны."
"Игвая в шахматы, вы учитесь логическому мышлению." - Это предложение является правильным, так как здесь соблюдается согласование подлежащего и деепричастного оборота.
Таким образом, если выбирать грамматически правильное продолжение, то лучше всего подходит четвертое предложение: "Играя в шахматы, вы учитесь логическому мышлению."
