Найдите меньшее значение функции f(x) =(2x-5)e(x-1.5) на отрезке [0:4]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = (2x-5)e^{(x-1.5)} \) на отрезке \([0, 4]\), начнем с анализа функции.
Находим производную функции: Чтобы найти критические точки, необходимо вычислить производную функции \( f(x) \) и приравнять её к нулю.
Используем правило произведения: \[ f'(x) = (2)e^{(x-1.5)} + (2x-5)e^{(x-1.5)} \cdot 1 \] Упростим: \[ f'(x) = e^{(x-1.5)}(2 + (2x-5)) \] \[ f'(x) = e^{(x-1.5)}(2x - 3) \]
Учитывая, что \( e^{(x-1.5)} \) никогда не равен нулю, можем приравнять к нулю только часть \( 2x - 3 \): \[ 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5 \]
Проверяем значение функции в критической точке: Теперь вычислим \( f(1.5) \): \[ f(1.5) = (2 \cdot 1.5 - 5)e^{(1.5 - 1.5)} = (3 - 5)e^0 = -2 \]
Вычисляем значения функции на границах отрезка: Теперь также найдем значения функции в границах отрезка \( [0, 4] \).
- \( f(0) = (2 \cdot 0 - 5)e^{(0 - 1.5)} = (-5)e^{-1.5} \approx -5 \cdot 0.223 = -1.115 \)
- \( f(4) = (2 \cdot 4 - 5)e^{(4 - 1.5)} = (8 - 5)e^{2.5} = 3e^{2.5} \approx 3 \cdot 12.182 = 36.546 \)
Сравниваем найденные значения: В итоге у нас есть:
- \( f(0) \approx -1.115 \)
- \( f(1.5) = -2 \)
- \( f(4) \approx 36.546 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([0, 4]\) — это \( f(1.5) = -2 \).
Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \([0, 4]\) равно \(-2\).
