x×|x²+8x+15|<0 на промежутке [-6; 1]

Чтобы решить неравенство \( x \times |x^2 + 8x + 15| < 0 \) на промежутке \([-6; 1]\), начнем с анализа выражения внутри модуля \( |x^2 + 8x + 15| \).

1. Разложим квадратный трехчлен: \[ x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) \] Ноль этого выражения достигается при \( x = -3 \) и \( x = -5 \). Это значит, что знак \( |x^2 + 8x + 15| \) меняется в этих точках.

2. Определим знаки на промежутке \([-6; 1]\): Рассмотрим промежутки:

   • На промежутке \([-6; -5)\): \((x + 3) < 0\) и \((x + 5) < 0\), следовательно, \( x^2 + 8x + 15 > 0 \) и \( |x^2 + 8x + 15| = x^2 + 8x + 15\).
   • На промежутке \([-5; -3)\): \((x + 3) < 0\) и \((x + 5) > 0\), следовательно, \( x^2 + 8x + 15 < 0 \) и \( |x^2 + 8x + 15| = -(x^2 + 8x + 15)\).
   • На промежутке \([-3; 1]\): \((x + 3) > 0\) и \((x + 5) > 0\), следовательно, \( x^2 + 8x + 15 > 0 \) и \( |x^2 + 8x + 15| = x^2 + 8x + 15\).

3. Запишем неравенство: Подставим найденные значения \(|x^2 + 8x + 15|\) в неравенство:

   • На \([-6; -5)\): \( x \times (x^2 + 8x + 15) < 0\)
   • На \([-5; -3)\): \( x \times -(x^2 + 8x + 15) < 0\)
   • На \([-3; 1]\): \( x \times (x^2 + 8x + 15) < 0\)

4. Решим каждое из неравенств:

   • Для промежутка \([-6; -5)\): \( x^2 + 8x + 15 > 0\) и \( x < 0 \), поэтому \( x \in [-6, -5) \).
   • Для промежутка \([-5; -3)\): Здесь \( x \) должно быть отрицательным, и \( x^2 + 8x + 15 < 0 \) дает решения где \( x \in (-5, -3) \).
   • Для промежутка \([-3; 1]\): Здесь \( x^2 + 8x + 15 > 0 \) и \( x < 0 \), следовательно, \( x \in (-3, 0) \).

5. Объединим все решения: Объединяя все найденные промежутки, получаем: \[ x \in [-6, -5) \cup (-5, -3) \cup (-3, 0) \] Это и будет ответом на ваше неравенство.

Таким образом, неравенство \( x \times |x^2 + 8x + 15| < 0 \) выполняется на интервале \( x \in [-6, -5) \cup (-5, -3) \cup (-3, 0) \).