Найдите f'(0)

Привет! Давай решим задачу вместе.

У нас есть две функции: \[ f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \] где \( g(x) = 3x - x^2 \) и \( s(x) = e^x + 2 \cos x \).

Нам нужно найти производную функции \( f(x) \) в точке \( x = 0 \).

Пусть \( f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \). Чтобы найти производную такой функции \( f(x) \), используем правило дифференцирования дроби: \[ f'(x) = \left( \frac{g(x)}{s(x)} \right)' = \frac{g'(x)s(x) - g(x)s'(x)}{[s(x)]^2} \]

1. Найдём \( g'(x) \): \[ g(x) = 3x - x^2 \] \[ g'(x) = 3 - 2x \] \[ g'(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3 \]

2. Найдём \( s'(x) \): \[ s(x) = e^x + 2 \cos x \] \[ s'(x) = e^x - 2 \sin x \] \[ s'(0) = e^0 - 2 \sin 0 = 1 - 0 = 1 \]

3. Подставим \( x = 0 \) в функции \( g(x) \) и \( s(x) \): \[ g(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 = 0 \] \[ s(0) = e^0 + 2 \cos 0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \]

Подставим всё это в формулу для производной: \[ f'(0) = \frac{g'(0)s(0) - g(0)s'(0)}{[s(0)]^2} = \frac{3 \cdot 3 - 0 \cdot 1}{3^2} = \frac{9}{9} = 1 \]

Итак, производная функции \( f(x) \) в точке 0 равна: \[ f'(0) = 1 \]

Надеюсь, это помогает! Если у тебя ещё будут вопросы, обращайся!