Выберите верные равенства

Давай разберёмся с заданием!

У нас есть несколько вариантов равенств, и нам нужно выбрать те, которые являются верными.

1. Разберём первый пункт: \(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{2}{3x}\)

Левая часть: Выражение внутри скобок \( \ln 5x + 3x \). Найдем производную: Производная от \( \ln 5x\) равна \( \frac{1}{x}\), и умножаем на 5 (по правилу цепочки), получаем \( \frac{5}{x} \). Производная от \( 3x \) есть просто 3.

Тогда: \( (\ln 5x + 3x)' = \frac{5}{x} + 3 \)

Умножаем на 2: \( 2 \left( \frac{5}{x} + 3 \right) = \frac{10}{x} + 6 \)

Сравним с правой частью: \(\frac{2}{3x}\).

Ясно, что они не равны, так что 1) неверно.

2. Ник: Проверим вариант (2)

\(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{3}{x}\)

Мы уже нашли, что: \(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{10}{x} + 6\)

Это тоже не равняется правой части, поэтому 2) тоже неверно.

3. Следующий вариант: \(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{8}{x}\)

У нас было: \(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{10}{x} + 6\)

Опять неверно.

4. Проверим:

\(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{2}{x} + 6\)

Здесь как раз то, что у нас получилось, сравнивая: \(2(\ln 5x + 3x)' = \frac{10}{x} + 6\)

Это уравнение верное.

5. Идём дальше: \((2 \cdot \ln 5x + 3)' = 3x\)

Вычислим: Производная \( 2 \cdot \ln 5x = 2 \cdot \frac{5}{x} = \frac{10}{x}\)

Производная от 3 равна нулю.

Так что: \( (2\cdot \ln5x+3)'= \frac{10}{x} \), а правая часть \(3x\). Неверно.

6. И наконец: \((2(\ln 5x + 3')) = 2 \cdot \frac{1}{x} + 10\)

Тут просто производная \( \frac{1}{x} \times 5 = \frac{5}{x}\): \(2 \cdot (\frac{5}{x} + 0)= \frac{10}{x} \), но уравнение дает: \((2\cdot(\ln 5x+3))=2\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=10 + \frac{1}{x}\), что явно не равно \(2 \cdot \frac{1}{x} + 10\). Нет, неверно.

Итак, проверенные варианты говорят, что только \(4)\) подходит.

Ответ: 4