Найдите f'(0), если f(x)=g(x)/s(x), g(x)=2x-e^x , s(x)=x+1

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \) в точке \( x = 0 \), нам нужно использовать правило дифференцирования частного. Правило гласит, что если у нас есть \( f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \), то

\[ f'(x) = \frac{g'(x) s(x) - g(x) s'(x)}{(s(x))^2} \]

Где:

• \( g(x) = 2x - e^x \)
• \( s(x) = x + 1 \)

Теперь найдем производные \( g'(x) \) и \( s'(x) \):

1. Найдем \( g'(x) \): \[ g(x) = 2x - e^x \] \[ g'(x) = 2 - e^x \]

2. Найдем \( s'(x) \): \[ s(x) = x + 1 \] \[ s'(x) = 1 \]

Теперь подставим эти производные в формулу для \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{(2 - e^x)(x + 1) - (2x - e^x)(1)}{(x + 1)^2} \]

Теперь нужно упростить выражение:

Распишем числитель:

\[ (2 - e^x)(x + 1) = 2x + 2 - e^x x - e^x \] \[ (2x - e^x)(1) = 2x - e^x \]

Теперь подставим:

\[ f'(x) = \frac{(2x + 2 - e^x x - e^x) - (2x - e^x)}{(x + 1)^2} \]

Упрощаем числитель:

\[ = \frac{2 - e^x x - e^x + e^x}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{2 - e^x x}{(x + 1)^2} \]

Теперь мы можем найти \( f'(0) \):

\[ f'(0) = \frac{2 - e^0 \cdot 0}{(0 + 1)^2} = \frac{2 - 1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1 \]

Таким образом, значение производной в точке \( x = 0 \) равно:

\[ f'(0) = 1 \]