во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса вписанного в эту пирамиду и

Для того чтобы решить задачу о соотношении объемов конусов, необходимо вспомнить формулы для вычисления объемов конусов и свойства правильной четырехугольной пирамиды.

1. Объем конуса можно вычислить по формуле:

   \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

   где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — высота конуса.

2. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в виде квадрата. Давайте обозначим сторону квадрата за \( a \). Для правильной пирамиды высота \( h_p \) и длина его апофемы помогут определить высоты для описанного и вписанного конусов.

3. Описание и вписывание конусов:

   • Конус, описанный около пирамиды, будет иметь основание, расположенное на основании пирамиды и вершину, совпадающую с вершиной пирамиды. Его радиус \( R \) будет равен половине длины стороны основания, то есть \( R = \frac{a}{2} \), и высота будет равна высоте пирамиды \( h_p \).
   • Вписанный конус будет иметь основание, равное периметру квадрата пирамида, и вершину также совпадающую с вершиной пирамиды. Здесь радиус основания \( r \) будет равен \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \) для вписанного объёма, но основание и высота пирамиды остаются теми же.

Теперь подставим значения в формулы для вычисления объемов:

• Объем описанного конуса \( V_{\text{описанный}} \):

  \[ V_{\text{описанный}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h_p = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} h_p = \frac{\pi a^2 h_p}{12}. \]

• Объем вписанного конуса \( V_{\text{вписанный}} \):

  \[ V_{\text{вписанный}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 h_p = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h_p = \frac{1}{6} \pi a^2 h_p. \]

Теперь найдем, во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного конуса:

\[ \frac{V_{\text{описанный}}}{V_{\text{вписанный}}} = \frac{\frac{\pi a^2 h_p}{12}}{\frac{1}{6} \pi a^2 h_p} = \frac{1}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, объем конуса, описанного вокруг правильной четырехугольной пирамиды, в 2 раза больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду.