Найдите точку максимума у функции =√2+x-x^2
Чтобы найти точку максимума функции \( y = \sqrt{2} + x - x^2 \), начнем с того, что нам нужно взять производную этой функции и найти её критические точки.
Найдем производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2} + x - x^2) = 0 + 1 - 2x = 1 - 2x \]
Установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки: \[ 1 - 2x = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \]
Теперь необходимо определить, является ли эта критическая точка точкой максимума. Для этого можно использовать вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(1 - 2x) = -2 \] Поскольку вторая производная отрицательна (\( y'' < 0 \)), это подтверждает, что наша критическая точка \( x = \frac{1}{2} \) является точкой максимума.
Теперь найдем значение функции в этой точке максимума: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2} + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \sqrt{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \sqrt{2} + \frac{1}{4} \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = \sqrt{2} + x - x^2 \) находится в \( x = \frac{1}{2} \) с максимальным значением \( y = \sqrt{2} + \frac{1}{4} \).
