Решите неопределённый интеграл ∫x2^xdx

Для решения неопределённого интеграла \(\int x^2 e^x \, dx\) мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем:

• \(u = x^2\) (тогда \(du = 2x \, dx\))
• \(dv = e^x \, dx\) (тогда \(v = e^x\))

Теперь подставим в формулу:

\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) \, dx \]

Теперь нам нужно решитьIntegral \( \int e^x (2x) \, dx \). Опять воспользуемся интегрированием по частям. На этот раз выберем:

• \(u = 2x\) (тогда \(du = 2 \, dx\))
• \(dv = e^x \, dx\) (тогда \(v = e^x\))

Подставим в новую формулу:

\[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x \]

Таким образом, подставляем это обратно в наш первоначальный интеграл:

\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) \]

Теперь упростим:

\[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x \]

Можно вынести \(e^x\) за скобки:

\[ \int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]

Где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

\[ \int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]