Найдите координату х точки С (х;0)х равноудаленной от точек А(2;3) и В 0(-1;4) плоскости АВС

Чтобы найти координату \( x \) точки \( C (x; 0) \), которая равноудалена от точек \( A (2; 3) \) и \( B (-1; 4) \), нужно воспользоваться свойством равноудаленности. Это означает, что расстояние от точки \( C \) до точки \( A \) должно быть равно расстоянию от точки \( C \) до точки \( B \).

Формула для вычисления расстояния между двумя точками \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) в плоскости имеет вид: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Сначала вычислим расстояние от точки \( C (x; 0) \) до точки \( A (2; 3) \): \[ d_{CA} = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} \]

Теперь вычислим расстояние от точки \( C (x; 0) \) до точки \( B (-1; 4) \): \[ d_{CB} = \sqrt{(x + 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 16} \]

Поскольку \( C \) равноудалена от \( A \) и \( B \), можно установить следующее уравнение: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 9} = \sqrt{(x + 1)^2 + 16} \]

Теперь квадратим обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратных корней: \[ (x - 2)^2 + 9 = (x + 1)^2 + 16 \]

Раскроем скобки: \[ (x^2 - 4x + 4) + 9 = (x^2 + 2x + 1) + 16 \] \[ x^2 - 4x + 13 = x^2 + 2x + 17 \]

Теперь упростим уравнение, убирая \( x^2 \) с обеих сторон: \[ -4x + 13 = 2x + 17 \]

Переносим все \( x \) в одну сторону, а константы в другую: \[ -4x - 2x = 17 - 13 \] \[ -6x = 4 \]

Теперь делим обе стороны на -6, чтобы найти \( x \): \[ x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \]

Таким образом, координата \( x \) точки \( C \) равна \( -\frac{2}{3} \).

Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \).