Найдите f'(0), если f(x)=g(x)/s(x), g(x)=5+x^2, s(x)=2cos x-e^x
Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{g(x)}{s(x)} \) в точке \( x = 0 \), где \( g(x) = 5 + x^2 \) и \( s(x) = 2\cos x - e^x \), необходимо использовать правило дифференцирования частного. Это правило гласит:
\[ f'(x) = \frac{g'(x)s(x) - g(x)s'(x)}{(s(x))^2} \]
Начнем с нахождения производных \( g'(x) \) и \( s'(x) \):
Находим \( g'(x) \): \[ g(x) = 5 + x^2 \implies g'(x) = 2x \]
Находим \( s'(x) \): \[ s(x) = 2\cos x - e^x \] Применив производные: \[ s'(x) = -2\sin x - e^x \]
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной функции \( f(x) \) и вычислим её в точке \( x = 0 \).
Находим \( g(0) \) и \( s(0) \): \[ g(0) = 5 + 0^2 = 5 \] \[ s(0) = 2\cos(0) - e^0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \]
Находим \( g'(0) \) и \( s'(0) \): \[ g'(0) = 2 \cdot 0 = 0 \] \[ s'(0) = -2\sin(0) - e^0 = -0 - 1 = -1 \]
Теперь подставим все найденные значения в формулу производной:
\[ f'(0) = \frac{g'(0)s(0) - g(0)s'(0)}{(s(0))^2} = \frac{0 \cdot 1 - 5 \cdot (-1)}{(1)^2} \] \[ f'(0) = \frac{0 + 5}{1} = 5 \]
Таким образом, производная функции \( f'(0) = 5 \).
