В коробке лежит 35 ручек, среди них есть только синие и зелёные. Число синих относятся к числу зелёных как два к пяти. Случайным образом достают четыре ручки. Найдите вероятность…

Чтобы решить задачу, сначала необходимо определить количество синих и зеленых ручек в коробке. Из условия мы знаем, что отношение числа синих ручек к числу зеленых составляет 2 к 5.

1. Обозначим количество синих ручек как \(2x\), а количество зеленых как \(5x\).

   Тогда у нас есть уравнение: \[ 2x + 5x = 35 \] \[ 7x = 35 \] \[ x = 5 \]

2. Теперь подставим значение \(x\) для нахождения количества синих и зеленых ручек:

   • Синие ручки: \(2x = 2 \times 5 = 10\)
   • Зеленые ручки: \(5x = 5 \times 5 = 25\)

Итак, в коробке 10 синих и 25 зеленых ручек.

3. Теперь найдем вероятность того, что среди выбранных 4 ручек будет 3 синих и 1 зеленая. Для этого воспользуемся формулой для вычисления вероятности:

   \[ P(A) = \frac{C(n_1, k_1) \cdot C(n_2, k_2)}{C(n, k)} \] где:

   • \(n_1\) — общее количество синих ручек (10),
   • \(k_1\) — количество выбранных синих ручек (3),
   • \(n_2\) — общее количество зеленых ручек (25),
   • \(k_2\) — количество выбранных зеленых ручек (1),
   • \(n\) — общее количество ручек (35),
   • \(k\) — общее количество выбранных ручек (4).

4. Растолкуем коэффициенты сочетаний: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

   \[ C(25, 1) = \frac{25!}{1!(25-1)!} = 25 \]

   \[ C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35-4)!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 52360 \]

5. Теперь подставим значения в формулу вероятности: \[ P(A) = \frac{C(10, 3) \cdot C(25, 1)}{C(35, 4)} = \frac{120 \cdot 25}{52360} \]

6. Упростим это выражение: \[ P(A) = \frac{3000}{52360} = \frac{300}{5236} = \frac{150}{2618} \] \[ = \frac{75}{1309} \]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 4 ручек 3 будут синими, составляет \( \frac{75}{1309} \). Вы можете выразить ответ как \( 1309p \), где \( p = \frac{75}{1309} \).