Найти корень уравнения

Привет! Давай вместе разберем эту задачу.

Тебе нужно найти корень уравнения \( 2\sin^2(x) - \sin(x) = 1 \) на промежутке \([0; \pi]\).

1. Переобразуем уравнение \( 2\sin^2(x) - \sin(x) = 1 \).

   Переносим 1 в левую часть уравнения:

   \( 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \).

2. Заметим, что это квадратное уравнение относительно \( \sin(x) \).

   Обозначим \( \sin(x) = t \). Получим:

   \( 2t^2 - t - 1 = 0 \).

3. Решим это квадратное уравнение. Используем формулу для корней квадратного уравнения.

   \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \).

   \( b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).

4. Подставим в формулу:

   \( t = \frac{1 \pm 3}{4} \).

   Получаем два корня:

   \( t = 1 \) и \( t = -\frac{1}{2} \).

5. Вспомним, что \( t = \sin(x) \). Соответственно, решаем два уравнения:

   1. \( \sin(x) = 1 \).

      Это уравнение имеет решение на промежутке \([0; \pi]\) при \( x = \frac{\pi}{2} \).

   2. \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \).

      Это уравнение на промежутке \([0; \pi]\) решений не имеет, так как синус на этом промежутке принимает значения от 0 до 1.

Таким образом, корень уравнения \( 2\sin^2(x) - \sin(x) = 1 \) на промежутке \([0; \pi]\) равен \( x = \frac{\pi}{2} \).