Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой 450 кг заполнен гелием. На высоте, где температура воздуха 17°С и давление 105 Па, шар может удерживать груз массой 250 кг.…

Для решения этой задачи необходимо использовать закон Архимеда и учитывать все силы, действующие на воздушный шар.

1. Определим силы, действующие на шар:

   • Вес самого воздушного шара (маса оболочки + масса гелия) составляет: \[ F_{вес} = (450 \, \text{кг} + m_{г}) \cdot g \] где \( m_{г} \) — масса гелия, а \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).

   • Общий груз, который может нести шар, составляет: \[ F_{груз} = 250 \, \text{кг} \cdot g \]

2. Силы Архимеда: Сила тяжести, действующая на шар, должна быть равна весу груза, который шар может поднять, плюс его собственный вес. Сила Архимеда определяется по формуле: \[ F_{арх} = \rho_{возд} \cdot V_{ш} \cdot g \] где \( \rho_{возд} \) — плотность воздуха при заданных условиях (при 17°C и 105 кПа), а \( V_{ш} \) — объем шара.

   Плотность воздуха можно приблизительно рассчитать по формуле: \[ \rho_{возд} \approx \frac{P}{R \cdot T} \] где \( P \) — давление, \( R \) — универсальная газовая постоянная (\( R \approx 287 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}\)), и \( T \) — температура в Кельвинах (\( T = 17 + 273.15 = 290.15 \, \text{К} \)).

   Подставим значения для вычисления плотности воздуха: \[ \rho_{возд} \approx \frac{105000 \, \text{Па}}{287 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)} \cdot 290.15 \, \text{К}} \approx 1.223 \, \text{кг/м}^3 \]

3. Расчет объема шара: По уравнению равновесия: \[ F_{арх} = F_{груз} + F_{вес} \] Подставим известные величины: \[ \rho_{возд} \cdot V_{ш} \cdot g = 250 \cdot g + (450 + m_{г}) \cdot g \] Упрощаем: \[ \rho_{возд} \cdot V_{ш} = 250 + 450 + m_{г} = 700 + m_{г} \]

   Объем шара \( V_{ш} \) связанный с массой гелия через его плотность \( \rho_{гел} \) (приблизительно \( 0.1785 \, \text{кг/м}^3 \)): \[ V_{ш} = \frac{m_{г}}{\rho_{гел}} \]

4. Система уравнений: Мы можем выразить объем шара через массу гелия и подставить его в уравнение: \[ \rho_{возд} \cdot \frac{m_{г}}{\rho_{гел}} = 700 + m_{г} \]

5. Решение уравнения: Подставим плотности: \[ 1.223 \cdot \frac{m_{г}}{0.1785} = 700 + m_{г} \] После упрощения получим: \[ 6.855 \cdot m_{г} = 700 + m_{г} \] Переносим \( m_{г} \) на одну сторону: \[ 5.855 \cdot m_{г} = 700 \] Отсюда находим массу гелия: \[ m_{г} = \frac{700}{5.855} \approx 119.0 \, \text{кг} \]

Таким образом, масса гелия в оболочке шара составляет aproximadamente 119 кг.