решите уравнение cos2x - cosx=0. укажите в градусах наибольшей корень уравнения принадлежащие отрезку [0;3π/2]

Для решения уравнения \( \cos 2x - \cos x = 0 \) начнем с использования формулы двойного угла для косинуса:

\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \]

Подставим это в уравнение:

\[ 2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0 \]

Теперь упорядочим его:

\[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение по отношению к \( \cos x \). Мы можем решить его, используя формулу для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ \cos x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ \cos x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ \cos x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ \cos x = \frac{1 \pm 3}{4} \]

Теперь найдем два возможных значения:

1. \( \cos x = \frac{4}{4} = 1 \)
2. \( \cos x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

Теперь решим каждое уравнение для \( x \).

1. Для \( \cos x = 1 \):

   • \( x = 0^\circ + 360^\circ k \), где \( k \) - любое целое число. В нашем диапазоне \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) (что соответствует \( [0; 270^\circ] \)), единственный корень: \( x = 0^\circ \).

2. Для \( \cos x = -\frac{1}{2} \):

   • \( x = 120^\circ + 360^\circ k \) или \( x = 240^\circ + 360^\circ k \). В рассматриваемом диапазоне:
     • \( 120^\circ \) (при \( k = 0 \))
     • \( 240^\circ \) (при \( k = 0 \))

Теперь соберем все корни, доступные в отрезке \( [0; 270^\circ] \):

• \( x = 0^\circ \)
• \( x = 120^\circ \)
• \( x = 240^\circ \)

Наибольший корень из указанных – это \( x = 240^\circ \).

Таким образом, наибольший корень уравнения, принадлежащий отрезку \( [0; \frac{3\pi}{2}] \), равен 240°.