Для решения уравнения ( \cos 2x - \cos x = 0 ) начнем с использования формулы двойного угла для косинуса:
[
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
]
Подставим это в уравнение:
[
2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0
]
Теперь упорядочим его:
[
2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
]
Это квадратное уравнение по отношению к ( \cos x ). Мы можем решить его, используя формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 2 ), ( b = -1 ), ( c = -1 ). Подставим эти значения в формулу:
[
\cos x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}
]
[
\cos x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}
]
[
\cos x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}
]
[
\cos x = \frac{1 \pm 3}{4}
]
Теперь найдем два возможных значения:
- ( \cos x = \frac{4}{4} = 1 )
- ( \cos x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} )
Теперь решим каждое уравнение для ( x ).
Для ( \cos x = 1 ):
- ( x = 0^\circ + 360^\circ k ), где ( k ) - любое целое число. В нашем диапазоне ( [0; \frac{3\pi}{2}] ) (что соответствует ( [0; 270^\circ] )), единственный корень: ( x = 0^\circ ).
Для ( \cos x = -\frac{1}{2} ):
- ( x = 120^\circ + 360^\circ k ) или ( x = 240^\circ + 360^\circ k ). В рассматриваемом диапазоне:
- ( 120^\circ ) (при ( k = 0 ))
- ( 240^\circ ) (при ( k = 0 ))
Теперь соберем все корни, доступные в отрезке ( [0; 270^\circ] ):
- ( x = 0^\circ )
- ( x = 120^\circ )
- ( x = 240^\circ )
Наибольший корень из указанных – это ( x = 240^\circ ).
Таким образом, наибольший корень уравнения, принадлежащий отрезку ( [0; \frac{3\pi}{2}] ), равен 240°.
