решите рациональное неравенство методом интервалов: 15:(4+3х-х²)>1
Решим неравенство \( \frac{15}{4 + 3x - x^2} > 1 \) методом интервалов.
Перепишем неравенство. Сначала преобразим его:
\[ \frac{15}{4 + 3x - x^2} - 1 > 0 \]
Найдем общий знаменатель:
\[ \frac{15 - (4 + 3x - x^2)}{4 + 3x - x^2} > 0 \]
Упростим числитель:
\[ 15 - 4 - 3x + x^2 = x^2 - 3x + 11 \]
Таким образом, неравенство принимает вид:
\[ \frac{x^2 - 3x + 11}{4 + 3x - x^2} > 0 \]
Найдем корни числителя. Уравнение \( x^2 - 3x + 11 = 0 \) решаем через дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \]
Дискриминант отрицательный, значит, дробь \( x^2 - 3x + 11 \) всегда положительна для всех \( x \).
Найдем корни знаменателя. Решим уравнение \( 4 + 3x - x^2 = 0 \):
Приведем его к стандартному виду:
\[ -x^2 + 3x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Находим дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Это дает \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \).
Построим числовую прямую и определим интервалы. У нас есть корни \( x = -1 \) и \( x = 4 \), делящие числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Исследуем знак дроби на каждом интервале. Важно помнить, что числитель всегда положителен. Рассмотрим знаменатель:
- Интервал \( (-\infty, -1) \): Знаменатель будет положительным, т.к. \( 4 + 3(-2) - (-2)^2 = 4 - 6 - 4 = -6 < 0 \) (проверяем на \( x = -2 \)).
- Интервал \( (-1, 4) \): Знаменатель будет отрицательным, т.к. \( 4 + 3(0) - 0^2 = 4 > 0 \) (проверяем на \( x = 0 \)).
- Интервал \( (4, +\infty) \): Знаменатель будет положительным, т.к. \( 4 + 3(5) - 5^2 = 4 + 15 - 25 = -6 < 0 \) (проверяем на \( x = 5 \)).
Подводим итоги: дробь положительна на интервалах:
- \( (-1, 4) \) - дробь отрицательна (не подходит),
- \( (-\infty, -1) \) и \( (4, +\infty) \) - дробь положительна (подходит).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \]
Эти интервалы удовлетворяют неравенству.
