(7^|x| -1) (5^|x| -5) >=0
Рассмотрим неравенство \( (7^{|x|} - 1)(5^{|x|} - 5) \geq 0 \).
Для решения этого неравенства начнем с изучения каждого множителя.
Первый множитель: \( 7^{|x|} - 1 \)
Этот множитель равен нулю, когда \( 7^{|x|} = 1 \). Это происходит, когда \( |x| = 0 \), то есть \( x = 0 \). Для \( |x| < 0 \) (что невозможно), \( 7^{|x|} < 1 \), а для \( |x| > 0 \), \( 7^{|x|} > 1 \). Таким образом:
- \( 7^{|x|} - 1 < 0 \) при \( |x| < 0 \) (не имеет решения),
- \( 7^{|x|} - 1 = 0 \) при \( x = 0 \),
- \( 7^{|x|} - 1 > 0 \) при \( |x| > 0 \) (то есть при \( x \neq 0 \)).
Второй множитель: \( 5^{|x|} - 5 \)
Этот множитель равен нулю, когда \( 5^{|x|} = 5 \). Это происходит, когда \( |x| = 1 \), то есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Для значений \( |x| < 1 \), \( 5^{|x|} < 5 \), а для \( |x| > 1 \), \( 5^{|x|} > 5 \). Таким образом:
- \( 5^{|x|} - 5 < 0 \) при \( |x| < 1 \),
- \( 5^{|x|} - 5 = 0 \) при \( |x| = 1 \) (то есть при \( x = 1 \) и \( x = -1 \)),
- \( 5^{|x|} - 5 > 0 \) при \( |x| > 1 \).
Теперь, чтобы определить, при каких значениях \( x \) произведение двух множителей будет неотрицательным, проанализируем интервала:
Интервал \( (-\infty, -1) \): Здесь оба множителя положительны. Следовательно, произведение положительное.
Точки \( -1, 0, 1 \):
- При \( x = -1 \): произведение \( = (7^1 - 1)(0) = 0 \)
- При \( x = 0 \): произведение \( = (0)(5^{-0} - 5) = 0 \)
- При \( x = 1 \): произведение \( = (0)(7^1 - 1) = 0 \)
Интервал \( (-1, 0) \): Здесь первый множитель положителен, второй отрицателен. Произведение отрицательное.
Интервал \( (0, 1) \): Аналогично, первый множитель положителен, второй отрицателен. Произведение отрицательное.
Интервал \( (1, +\infty) \): Здесь оба множителя положительны, следовательно, произведение положительное.
Соберем все результаты:
- Произведение \( \geq 0 \) на интервалах \( (-\infty, -1] \), \( x = 0 \), и \( [1, +\infty) \).
Таким образом, ответ:
\( x \in (-\infty, -1] \cup \{0\} \cup [1, +\infty) \)
