Докажите что если векторы а и Б не коллинеарны то а векторы а плюс Б и а минус б не коллинеарны б векторы два а минус Б и а плюс б не коллинеарны в векторы а плюс Б и а +3 б не коллинеарны

Давайте докажем указанные утверждения поэтапно, используя свойства векторов и определение коллинеарности.

Определение коллинеарности: Векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) коллинеарны, если существует скаляр \( k \), такое что \( \mathbf{u} = k \mathbf{v} \). Это также означает, что они лежат на одной прямой.

1. Векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \)

Пусть векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \).

Мы можем выразить эти векторы через линейные комбинации \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \[ \mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \quad \mathbf{v} = \mathbf{a} - \mathbf{b}. \] Сосчитаем их одноименные векторы: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) + (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 2\mathbf{a}, \] \[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) - (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 2\mathbf{b}. \]

Итак, мы видим, что \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) являются комбинациями \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Поскольку \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны, то и \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) не могут лежать на одной линии.

2. Векторы \( 2\mathbf{a} - \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \)

Рассмотрим векторы: \[ \mathbf{u} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b}, \quad \mathbf{v} = \mathbf{a} + \mathbf{b}. \]

Если бы они были коллинеарны, это означало бы, что существует скаляр \( k \) такое, что \[ 2\mathbf{a} - \mathbf{b} = k(\mathbf{a} + \mathbf{b}). \] Перепишем это уравнение: \[ 2\mathbf{a} - \mathbf{b} = k\mathbf{a} + k\mathbf{b}. \] Сгруппируем векторы: \[ (2 - k)\mathbf{a} = (k + 1)\mathbf{b}. \] Если \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны, то для равенства векторов они должны быть пропорциональны, что возможно только если коэффициенты перед \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равны, а это возможно только для определенных значений \( k \), в то время как количество решений для \( k \) — всего лишь одно. Поскольку \( k \) не может быть единственным при неколлинеарных векторах, то наши векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) не коллинеарны.

3. Векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \)

Рассмотрим векторы: \[ \mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \quad \mathbf{v} = \mathbf{a} + 3\mathbf{b}. \]

Если бы они были коллинеарны, можно записать: \[ \mathbf{a} + 3\mathbf{b} = k(\mathbf{a} + \mathbf{b}). \] Раскроем скобки: \[ \mathbf{a} + 3\mathbf{b} = k\mathbf{a} + k\mathbf{b}. \] Сгруппируем векторы: \[ (1 - k)\mathbf{a} + (3 - k)\mathbf{b} = \mathbf{0}. \] Поскольку \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны, выполняются следующие условия: \[ 1 - k = 0 \quad \text{и} \quad 3 - k = 0, \] что невозможно одновременно. Таким образом, векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \) также не коллинеарны.

Заключение

Мы доказали, что все три пары векторов не являются коллинеарными, если \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны.