Решить пример с помощью формулы приведения

Привет! Давай вместе разберёмся с этим заданием. Нам нужно упростить выражения с помощью формулы приведения.

Формулы приведения помогают упростить выражения, используя свойство синуса и косинуса:

• \(\sin(180^\circ \pm \alpha) = \sin \alpha\)
• \(\cos(180^\circ \pm \alpha) = -\cos \alpha\)
• \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\)
• \(\cos(90^\circ \pm \alpha) = -\sin \alpha\)

Рассмотрим два выражения:

1. \(\sin^4 \left( \frac{23\pi}{12} \right) \)
2. \(\cos^4 \left( \frac{13\pi}{12} \right) \)

Для обоих выражений приведём углы к значениям, более удобным для вычисления:

1. \(\frac{23\pi}{12}\) \[ \frac{23\pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12} = 360^\circ - 15^\circ \]

   Используем формулы приведения: \[ \sin \left( 360^\circ - 15^\circ \right) = - \sin 15^\circ \] Значит: \[ \sin^4 \left( \frac{23\pi}{12} \right) = \sin^4 15^\circ \]

2. \(\frac{13\pi}{12}\) \[ \frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = 180^\circ + 15^\circ \]

   Используем формулы приведения: \[ \cos \left( 180^\circ + 15^\circ \right) = - \cos 15^\circ \] Значит: \[ \cos^4 \left( \frac{13\pi}{12} \right) = \cos^4 15^\circ \]

Поэтому выражение: \[ \sin^4 \left( \frac{23\pi}{12} \right) - \cos^4 \left( \frac{13\pi}{12} \right) \]

превращается в:

\[ \sin^4 15^\circ - (-\cos^4 15^\circ) = \sin^4 15^\circ + \cos^4 15^\circ \]

Упрощаем с учетом (выразив синус через косинус): \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \rightarrow тогда производная мощность : \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x (зная что \sin(2x) = 2 \sin x \cos x) \rightarrow 1 - 2(\frac{1}{2}(1 - \cos(2x))) = 1 - (1 - \cos(2x)) = \cos(2x) \]

Тогда ответ: \[ \sin^4 15^\circ + \cos^4 15^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq ни одного ответа \]