Решите рациональное неравенство методом интервалов: ((х²-5х+12):(х²-4х+5))>3

Для решения рационального неравенства \(\frac{x^2 - 5x + 12}{x^2 - 4x + 5} > 3\) методом интервалов, сначала нужно преобразовать данное неравенство в более удобный вид.

1. Переносим 3 в левую часть: \[ \frac{x^2 - 5x + 12}{x^2 - 4x + 5} - 3 > 0 \]

2. Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 5x + 12 - 3(x^2 - 4x + 5)}{x^2 - 4x + 5} > 0 \] Упрощаем числитель: \[ \frac{x^2 - 5x + 12 - 3x^2 + 12x - 15}{x^2 - 4x + 5} > 0 \] \[ \frac{-2x^2 + 7x - 3}{x^2 - 4x + 5} > 0 \] Теперь можно выразить неравенство так: \[ \frac{-2x^2 + 7x - 3}{(x-2)^2 + 1} > 0 \]

Обратите внимание, что знаменатель \((x-2)^2 + 1\) всегда положителен, так как это квадратное выражение плюс 1.

Теперь необходимо решить неравенство: \[ -2x^2 + 7x - 3 > 0 \] Это квадратное неравенство, которое можно переписать в стандартной форме: \[ 2x^2 - 7x + 3 < 0 \]

3. Находим корни квадратного уравнения \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]

Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{12}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

4. Теперь у нас есть корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\). Мы анализируем знаки выражения \(2x^2 - 7x + 3\) на интервалах, деленных этими корнями: \((-\infty, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 3)\) и \((3, +\infty)\).

5. Проверим знак неравенства на каждом из интервалов:

• Для интервала \((-\infty, \frac{1}{2})\), например, подставим \(x = 0\): \(2(0^2) - 7(0) + 3 = 3\) (положительно).
• Для интервала \((\frac{1}{2}, 3)\), например, подставим \(x = 2\): \(2(2^2) - 7(2) + 3 = 8 - 14 + 3 = -3\) (отрицательно).
• Для интервала \((3, +\infty)\), например, подставим \(x = 4\): \(2(4^2) - 7(4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7\) (положительно).

6. Комбинируя результаты, знаки неравенств:

• \((-\infty, \frac{1}{2})\): положительно
• \((\frac{1}{2}, 3)\): отрицательно
• \((3, +\infty)\): положительно

Теперь, мы можем записать соответственно: \[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \(\frac{x^2 - 5x + 12}{x^2 - 4x + 5} > 3\) представляет собой объединение интервалов: \[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (3, +\infty) \]

Если остались вопросы, буду рад помочь!