найдите наименьшее значение функции y=log2(x в 2-7x) на отрезке 8;10

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = \log_2(x^2 - 7x) \) на отрезке \( [8; 10] \), сначала нужно определить, существует ли значение функции на этом отрезке.

1. Найдём область определения функции: Для логарифма важно, чтобы аргумент был положительным. То есть, необходимо решить неравенство: \[ x^2 - 7x > 0. \] Можно вынести \( x \) за скобки: \[ x(x - 7) > 0. \] Это неравенство выполняется, когда \( x < 0 \) или \( x > 7 \). На отрезке \( [8; 10] \) аргумент положителен.

2. Найдём значения функции на границах отрезка:

   • Для \( x = 8 \): \[ y(8) = \log_2(8^2 - 7 \cdot 8) = \log_2(64 - 56) = \log_2(8) = 3. \]
   • Для \( x = 10 \): \[ y(10) = \log_2(10^2 - 7 \cdot 10) = \log_2(100 - 70) = \log_2(30). \]

3. Определим значение \( \log_2(30) \): Используя приблизительные значения, можем оценить \( \log_2(30) \): \[ 2^4 = 16 \quad \text{и} \quad 2^5 = 32. \] Следовательно, \( 4 < \log_2(30) < 5 \). Более точно, \( \log_2(30) \) примерно равно 4.91.

4. Сравним значения на границах отрезка:

   • \( y(8) = 3 \)
   • \( y(10) \approx 4.91 \)

5. Вывод: Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \( [8; 10] \) достигается в точке \( x = 8 \) и равно 3.

Таким образом, наименьшее значение функции \( y = \log_2(x^2 - 7x) \) на данном отрезке равно 3.