Найдите высоту цилиндра, если диаметр равен 8,4 см, а площадь боковой поверхности в 6п раза больше радиуса. Ответ дайте в см.

Чтобы найти высоту цилиндра, нужно знать формулу для площади боковой поверхности цилиндра и значение радиуса.

1. Определим радиус цилиндра. Диаметр равен 8,4 см, поэтому радиус \( r \) будет равен: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{8,4 \, \text{см}}{2} = 4,2 \, \text{см}. \]

2. Зададимся площадью боковой поверхности. По условию задачи, площадь боковой поверхности в \( 6\pi \) раз больше радиуса. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[ S = 2\pi rh, \] где \( S \) — площадь боковой поверхности, \( r \) — радиус, \( h \) — высота. По условию, мы можем записать: \[ S = 6\pi r. \]

3. Подставим известные значения радиуса. \[ S = 6\pi \cdot 4,2 \, \text{см} = 25,2\pi \, \text{см}^2. \]

4. Теперь эквивалентный вид для площади боковой поверхности: \[ 2\pi rh = 25,2\pi. \]

5. Упростим уравнение, разделив обе стороны на \( 2\pi \): \[ rh = \frac{25,2\pi}{2\pi} = 12,6. \]

6. Теперь найдем высоту \( h \): \[ h = \frac{12,6}{r} = \frac{12,6}{4,2}. \]

7. Вычислим значение высоты: \[ h = 3 \, \text{см}. \]

Таким образом, высота цилиндра равна \( 3 \, \text{см} \).