Решить примеры на тему производная функции: y=x^2(x^3+7x) y=8x-3/x^2+2 F(x) = 5x^8-3cos y=sin(cos^2 x)cos(sin^2x)

Давайте разберем каждую из предложенных функций и найдем их производные.

1. \( y = x^2 (x^3 + 7x) \)

Для нахождения производной этого выражения, мы воспользуемся правилом произведения. Обозначим \( u = x^2 \) и \( v = x^3 + 7x \). Тогда, производная \( y' \) будет:

\[ y' = u'v + uv' \]

Где:

• \( u' = 2x \)
• \( v' = 3x^2 + 7 \)

Теперь подставим:

\[ y' = (2x)(x^3 + 7x) + (x^2)(3x^2 + 7) \]

Упростим это выражение:

\[ y' = 2x^4 + 14x^2 + 3x^4 + 7x^2 = (2x^4 + 3x^4) + (14x^2 + 7x^2) = 5x^4 + 21x^2 \]

Таким образом, производная первой функции:

\[ y' = 5x^4 + 21x^2 \]

2. \( y = \frac{8x - 3}{x^2 + 2} \)

Здесь используем правило деления. Обозначим \( u = 8x - 3 \) и \( v = x^2 + 2 \). Тогда производная будет:

\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где:

• \( u' = 8 \)
• \( v' = 2x \)

Подставим:

\[ y' = \frac{(8)(x^2 + 2) - (8x - 3)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \]

Теперь упростим числитель:

\[ y' = \frac{8x^2 + 16 - (16x^2 - 6x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{8x^2 + 16 - 16x^2 + 6x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-8x^2 + 6x + 16}{(x^2 + 2)^2} \]

Таким образом, производная второй функции:

\[ y' = \frac{-8x^2 + 6x + 16}{(x^2 + 2)^2} \]

3. \( F(x) = 5x^8 - 3\cos(x) \)

Производную данной функции находим, применяя правило производной для каждой части:

\[ F'(x) = 40x^7 + 3\sin(x) \]

Таким образом, производная третьей функции:

\[ F'(x) = 40x^7 + 3\sin(x) \]

4. \( y = \sin(\cos^2 x) \cos(\sin^2 x) \)

Опять используем правило произведения и цепное правило. Обозначим:

• \( u = \sin(\cos^2 x) \)
• \( v = \cos(\sin^2 x) \)

Тогда производная будет:

\[ y' = u'v + uv' \]

Для \( u' \):

\[ u' = \cos(\cos^2 x) \cdot (-2\cos x \sin x) \quad (\text{по цепному правилу}) \]

Для \( v' \):

\[ v' = -\sin(\sin^2 x) \cdot (2\sin x \cos x) \quad (\text{по цепному правилу}) \]

Теперь подставим:

\[ y' = \cos(\cos^2 x)(-2\cos x \sin x) \cos(\sin^2 x) + \sin(\cos^2 x)(-\sin(\sin^2 x)(2\sin x \cos x)) \]

Это достаточно громоздкое выражение, но его можно оставить в таком виде, если не требуется дальнейшее упрощение.

Таким образом, производная четвертой функции:

\[ y' = \cos(\cos^2 x)(-2\cos x \sin x) \cos(\sin^2 x) - \sin(\cos^2 x) \sin(\sin^2 x)(2\sin x \cos x) \]

Если у вас есть вопросы или если вам нужно больше информации о какой-либо из функций, не стесняйтесь спрашивать!