Решить примеры на тему производная функции f(x)=3^4x+2 + √x f(x) = 2x*sin(5x+2)
Давайте рассмотрим, как находить производные для указанных функций.
- Для первой функции \( f(x) = 3^{4x+2} + \sqrt{x} \).
Чтобы найти производную, воспользуемся правилами дифференцирования:
- Производная \( a^{g(x)} \) равна \( a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) \).
- Производная \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Теперь применим эти правила:
a) Для первого члена \( 3^{4x+2} \):
- \( g(x) = 4x + 2 \) ⇒ \( g'(x) = 4 \)
- Производная будет \( 3^{4x+2} \cdot \ln(3) \cdot 4 \).
b) Для второго члена \( \sqrt{x} \):
- Производная будет \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Теперь можем объединить результаты:
\[ f'(x) = 3^{4x+2} \cdot \ln(3) \cdot 4 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
- Для второй функции \( f(x) = 2x \sin(5x + 2) \).
Здесь будем использовать правило произведения:
Если \( u = 2x \) и \( v = \sin(5x + 2) \), то:
\[ f'(x) = u'v + uv'. \]
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
a) \( u' = 2 \).
b) Чтобы найти \( v' = \sin(5x + 2) \), применяем цепное правило:
- Производная \( \sin(g(x)) \) равна \( \cos(g(x)) \cdot g'(x) \).
- Здесь \( g(x) = 5x + 2 \), значит \( g'(x) = 5 \).
Следовательно, производная \( v' = \cos(5x + 2) \cdot 5 \).
Теперь подставим всё обратно в формулу для производной:
\[ f'(x) = 2 \sin(5x + 2) + 2x \cdot 5 \cos(5x + 2). \]
Объединим:
\[ f'(x) = 2 \sin(5x + 2) + 10x \cos(5x + 2). \]
Таким образом, мы нашли производные обеих функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!
