3sin^x+2cos^x, при sin^x=¼

Для решения выражения \(3\sin^x + 2\cos^x\) при условии, что \(\sin^x = \frac{1}{4}\), начнем с вычисления \(\cos^x\).

Мы знаем, что \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Подставим значение \(\sin^x\):

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2x = 1 \]

Это упрощается до:

\[ \frac{1}{16} + \cos^2x = 1 \]

Теперь вычтем \(\frac{1}{16}\) из обеих сторон:

\[ \cos^2x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \]

Теперь найдем \(\cos x\):

\[ \cos x = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Теперь мы можем подставить значения \(\sin^x\) и \(\cos^x\) в исходное выражение:

\[ 3\sin^x + 2\cos^x = 3\left(\frac{1}{4}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \]

Упрощаем:

\[ = \frac{3}{4} + \frac{2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 + 2\sqrt{15}}{4} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ 3\sin^x + 2\cos^x = \frac{3 + 2\sqrt{15}}{4} \]