sin(2x-π/6) =0 найти все корни уравнения в промежутке от 0 до 3π/2
Давайте решим уравнение \( \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 0 \).
Чтобы найти угол, при котором синус равен нулю, мы знаем, что \( \sin(\theta) = 0 \) в точках:
\[ \theta = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
В нашем уравнении \( \theta = 2x - \frac{\pi}{6} \). Таким образом, можем установить следующее равенство:
\[ 2x - \frac{\pi}{6} = n\pi \]
Теперь решим это уравнение относительно \( x \):
- Переносим \( \frac{\pi}{6} \):
\[ 2x = n\pi + \frac{\pi}{6} \]
- Делим обе стороны на 2:
\[ x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{12} \]
Теперь необходимо найти все значения \( x \) в пределах от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \).
Первым шагом определим, какие значения \( n \) подойдут для нашего диапазона:
- Для \( n = 0 \):
\[ x = \frac{0 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \]
- Для \( n = 1 \):
\[ x = \frac{1 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \]
- Для \( n = 2 \):
\[ x = \frac{2 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \]
- Для \( n = 3 \):
\[ x = \frac{3 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \]
Значение \( \frac{19\pi}{12} \) превышает \( \frac{3\pi}{2} \) (которое равно \( \frac{18\pi}{12} \)), поэтому мы его не учитываем.
Таким образом, все корни уравнения в диапазоне от \( 0 \) до \( \frac{3\pi}{2} \):
- \( x = \frac{\pi}{12} \)
- \( x = \frac{7\pi}{12} \)
- \( x = \frac{13\pi}{12} \)
Эти значения являются решениями уравнения.
