Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.9, для второго станка — 0.8, для третьего станка — 0.7. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа потребуют внимания два станка.

Чтобы найти вероятность того, что в течение часа потребують внимания ровно два станка, сначала определим вероятности того, что каждый станок потребует внимания.

Для каждого станка данные выглядят так:

• Вероятность того, что первый станок потребует внимания: \(1 - 0.9 = 0.1\)
• Вероятность того, что второй станок потребует внимания: \(1 - 0.8 = 0.2\)
• Вероятность того, что третий станок потребует внимания: \(1 - 0.7 = 0.3\)

Теперь обозначим события:

• \(A\): первый станок требует внимания.
• \(B\): второй станок требует внимания.
• \(C\): третий станок требует внимания.

Нам нужно найти вероятность того, что ровно два станка из трех потребуют внимания. Это может произойти в трех различных случаях:

1. Первый и второй станки требуют внимания, третий — нет: \(P(A \cap B \cap \bar{C})\)
2. Первый и третий станки требуют внимания, второй — нет: \(P(A \cap \bar{B} \cap C)\)
3. Второй и третий станки требуют внимания, первый — нет: \(P(\bar{A} \cap B \cap C)\)

Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:

1. Для \(P(A \cap B \cap \bar{C})\): \[ P(A) = 0.1, \quad P(B) = 0.2, \quad P(\bar{C}) = 1 - 0.3 = 0.7 \] \[ P(A \cap B \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.7 = 0.014 \]

2. Для \(P(A \cap \bar{B} \cap C)\): \[ P(A) = 0.1, \quad P(\bar{B}) = 1 - 0.2 = 0.8, \quad P(C) = 0.3 \] \[ P(A \cap \bar{B} \cap C) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C) = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.024 \]

3. Для \(P(\bar{A} \cap B \cap C)\): \[ P(\bar{A}) = 1 - 0.1 = 0.9, \quad P(B) = 0.2, \quad P(C) = 0.3 \] \[ P(\bar{A} \cap B \cap C) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.3 = 0.054 \]

Теперь сложим все полученные вероятности, чтобы найти общую вероятность того, что ровно два станка потребуют внимания: \[ P(\text{ровно два станка}) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(\bar{A} \cap B \cap C) \] \[ = 0.014 + 0.024 + 0.054 = 0.092 \]

Таким образом, вероятность того, что в течение часа потребуют внимания два станка, составляет \(0.092\) или \(9.2\%\).