Найти определенный интеграл ∫π0x∗sin(x)dx

Чтобы вычислить определённый интеграл

\[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx, \]

можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du, \]

где \( u \) и \( dv \) выбираются из функции, которую необходимо интегрировать.

В нашем случае мы можем взять:

• \( u = x \) (тогда \( du = dx \)),
• \( dv = \sin(x) \, dx \) (тогда \( v = -\cos(x) \)).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) - \int -\cos(x) \, dx \]

\[ = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \]

\[ = -x \cos(x) + \sin(x) + C. \]

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до \(\pi\):

\[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \left[-x \cos(x) + \sin(x)\right]_0^{\pi}. \]

Теперь подставляем пределы:

1. При \( x = \pi \):

\[ -\pi \cos(\pi) + \sin(\pi) = -\pi(-1) + 0 = \pi. \]

2. При \( x = 0 \):

\[ -0 \cdot \cos(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0. \]

Теперь вычтем значения:

\[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \pi - 0 = \pi. \]

Таким образом, значение определённого интеграла равно:

\[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \pi. \]