найдите площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2 +4x +21, касательной к этой функции, проведенной в точке с абсциссой x0=3 и осью Ox. В отвкте укажите величину, равную 6S, где…
Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2 +4x +21, касательной к этой функции, проведенной в точке с абсциссой x0=3 и осью Ox. В отвкте укажите величину, равную 6S, где S - площадь фигуры.
Для решения задачи нам необходимо выполнить несколько шагов: найти площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = -x^2 + 4x + 21\), касательной к этой функции при \(x_0 = 3\), и осью Ox.
Шаг 1: Находим значение функции и её производную в точке \(x_0 = 3\).
Подставим \(x = 3\) в уравнение функции:
\[ y(3) = -3^2 + 4 \cdot 3 + 21 = -9 + 12 + 21 = 24. \]
Так что точка касания на графике функции будет \((3, 24)\).
Теперь найдем производную функции, чтобы получить угол наклона касательной:
\[ y' = \frac{dy}{dx} = -2x + 4. \]
Теперь подставим \(x = 3\):
\[ y'(3) = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2. \]
Шаг 2: Уравнение касательной.
Используя уравнение касательной, которое имеет вид:
\[ y - y_0 = m(x - x_0), \]
где \(m\) — производная в точке касания, \( (x_0, y_0) \) — точка касания, получаем:
\[ y - 24 = -2(x - 3). \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ y - 24 = -2x + 6, \] \[ y = -2x + 30. \]
Шаг 3: Найдем точки пересечения касательной с осью Ox.
Для этого приравняем \(y = 0\):
\[ 0 = -2x + 30, \] \[ 2x = 30, \] \[ x = 15. \]
Таким образом, касательная пересекает ось Ox в точке \((15, 0)\).
Шаг 4: Находим координаты фигуры.
Теперь у нас есть три точки:
- Точка касания: \((3, 24)\),
- Точка пересечения касательной с осью Ox: \((15, 0)\),
- Начало координат: \((3, 0)\), где ось Ox пересекает вертикальную линию из точки касания.
Шаг 5: Находим площадь фигуры.
Фигура, ограниченная этими линиями, является трапецием с основаниями 24 и 0 (высота от точки касания до оси Ox) и с основанием длиной \(15 - 3 = 12\).
Площадь \(S\) трапеции вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot (b_1 + b_2) \cdot h, \]
где \(b_1\) и \(b_2\) — длины оснований, а \(h\) — высота.
Таким образом:
\[ b_1 = 24, \quad b_2 = 0, \quad h = 12. \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot (24 + 0) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144. \]
Шаг 6: Найдем значение \(6S\).
Теперь умножим найденную площадь на 6:
\[ 6S = 6 \cdot 144 = 864. \]
Ответ: 864.
