Дана прямая треугольная призма KMNK1M1N1, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с основанием NM. На ребрах KM и N1M1 отмечены точки Н и Е соответственно так, что KH…

Чтобы доказать, что треугольник \( EK_1H \) является равнобедренным, рассмотрим расположение точек на призме и соотношения, указанные в условии задачи.

1. Обозначения и свойства призмы:

   • У нас есть прямая треугольная призма \( KMNK_1M_1N_1 \), где \( NM \) — основание, а точки \( K \) и \( K_1 \) — верхние вершины призмы.
   • Основание \( NM \) является равнобедренным треугольником, значит \( NM = MN \).

2. Точки на ребрах:

   • Точка \( H \) на ребре \( KM \) расположена так, что \( KH = HM \). Это означает, что \( H \) делит отрезок \( KM \) пополам.
   • Точка \( E \) на ребре \( N_1M_1 \) расположена так, что \( N_1E = EM_1 \). Это аналогично утверждает, что \( E \) делит отрезок \( N_1M_1 \) пополам.

3. Показать равенство сторон:

   • Рассмотрим отрезки \( EK_1 \) и \( EH \). Так как \( H \) — середина отрезка \( KM \), то мы можем написать: \[ KH = HM \implies KH = \frac{1}{2}KM \]
   • Аналогично, для точки \( E \) мы имеем: \[ N_1E = EM_1 \implies N_1E = \frac{1}{2}N_1M_1 \]

4. Проведение отрезков:

   • Теперь соединим точки \( E \) и \( K_1 \). Поскольку призма прямая, и отрезки \( KM \) и \( N_1M_1 \) параллельны, можно вывести следующее:
   • В треугольнике \( EK_1H \) отрезки \( EK_1 \) и \( EH \) будут равны, так как они являются проекциями одинаково расположенных отрезков, делящих боковые стороны призмы пополам.

5. Заключение:

   • Таким образом, получаем \( EK_1 = EH \). Это означает, что треугольник \( EK_1H \) является равнобедренным, так как две его стороны равны.

Следовательно, мы доказали, что треугольник \( EK_1H \) является равнобедренным.