Вычислить

Привет! Давай разберемся вместе с задачей.

У нас даны три комплексных числа: \[ z_1 = 3 - 2i \] \[ z_2 = 5i - 2 \] \[ z_3 = 2 - 3i \]

Нам нужно вычислить: \[ \frac{z_2}{z_3} - z_2 z_1 \]

Давай начнем с первой части и найдем \(\frac{z_2}{z_3}\).

1. Запишем \(z_2\) и \(z_3\): \[ z_2 = -2 + 5i \] \[ z_3 = 2 - 3i \]

2. Найдём \(\frac{z_2}{z_3}\), умножив числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя: \[ \frac{z_2}{z_3} = \frac{(-2 + 5i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} \]

3. Найдём знаменатель: \[ (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 + 9 = 13 \]

4. Раскроем скобки в числителе: \[ (-2 + 5i)(2 + 3i) = -4 - 6i + 10i + 15i^2 = -4 + 4i - 15 = -19 + 4i \]

5. Подставим числитель и знаменатель в дробь: \[ \frac{-19 + 4i}{13} = -\frac{19}{13} + \frac{4}{13} i \]

Теперь давай вычислим вторую часть - \( z_2 z_1 \):

1. Запишем снова \( z_2 \) и \( z_1 \): \[ z_2 = -2 + 5i \] \[ z_1 = 3 - 2i \]

2. Найдем произведение: \[ z_2 z_1 = (-2 + 5i)(3 - 2i) \] \[ = -2 \cdot 3 + (-2) \cdot (-2i) + 5i \cdot 3 - 2i \cdot 5i \] \[ = -6 + 4i + 15i - 10i^2 \] \[ = -6 + 19i + 10 \] \[ = 4 + 19i \]

Итак, у нас есть две части: \[-\frac{19}{13} + \frac{4}{13} i \] и \( 4 + 19i \).

Теперь сложим обе части: \[ -\frac{19}{13} + \frac{4}{13} i - (4 + 19i) \] \[ = -\frac{19}{13} + \frac{4}{13} i - 4 - 19i \] \[ = -\frac{19}{13} - 4 + \frac{4}{13} i - 19i \]

Приведем к общему знаменателю: \[ -\frac{19}{13} - \frac{52}{13} + \frac{4}{13} i - \frac{247}{13}i \]

\[ = -\frac{71}{13} - \frac{243}{13}i\]

Итак, окончательный результат: \[ -\frac{71}{13} - \frac{243}{13}i \]

Если остались вопросы - спрашивай!