"Найдите наименьшее значение функции y=23x32-3x+15 на отрезке 4;19."
Привет! Давай разберем твою работу над заданием.
Ты правильно заметил, что не дал ответ на задание, но давай подробно проанализируем, почему правильный ответ равен 6, и как его нужно было получить!
Суть задачи: Нам нужно найти наименьшее значение функции \(y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 3x + 15\) на заданном отрезке [4; 19].
Находим производную: Для нахождения экстремумов функции нужно найти ее производную. В твоем решении производная была записана, но там была ошибка. Правильная производная будет:
\[ y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 = x^{\frac{1}{2}} - 3 \]
Находим критические точки: Мы приравниваем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:
\[ x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0 \implies x^{\frac{1}{2}} = 3 \implies x = 9 \]
Проверяем знаки производной: Анализируя производную в интервале отрезка, мы выбираем точки \(x = 5\) и \(x = 16\):
- Для \(x = 5\): \(y' = \sqrt{5} - 3 < 0\) (функция убывает).
- Для \(x = 16\): \(y' = \sqrt{16} - 3 > 0\) (функция возрастает). Это показывает, что в точке \(x = 9\) действительно минимум.
Находим значение функции в критической точке и на границах отрезка:
- \(y(9)\) = \(6\)
- \(y(4)\) и \(y(19)\) тоже нужно проверить, чтобы убедиться, что минимум действительно в \(x = 9\).
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [4; 19] равно 6.
Твоя ошибка заключалась в том, что ты не провел расчет производной и не проверил критическую точку в заданном интервале. Надеюсь, разбор тебе помог!
Пожалуйста, оцени мой ответ лайком или дизлайком!
