Из пункта а в пункт Б В низ по течению Отправился катер дойдя до пункта В он мгновенно разворачивается возвращается в пункт А скорость течения реки 3км/ч определите среднюю…

Для решения задачи давайте обозначим скорость катера относительно воды как \( V_k \) (км/ч). Из условия задачи нам известно, что скорость течения реки составляет \( V_t = 3 \) км/ч.

1. Определим время в пути: Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно \( S \) км.

   Время, затраченное катером на путь из А в В, обозначим как \( t_1 \), а на обратный путь из В в А — как \( t_2 \).

   По условию задачи: \[ t_1 = \frac{S}{V_k + V_t} \quad \text{(по течению)} \] \[ t_2 = \frac{S}{V_k - V_t} \quad \text{(против течения)} \]

   Нам известно, что \( t_1 \) в 2 раза меньше \( t_2 \): \[ t_1 = \frac{1}{2} t_2 \]

   Подставляем выражения для времени: \[ \frac{S}{V_k + 3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{V_k - 3} \]

2. Упростим уравнение: Убираем \( S \) из обоих частей (предполагая, что \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{V_k + 3} = \frac{1}{2(V_k - 3)} \]

   Умножаем обе стороны на \( 2(V_k + 3)(V_k - 3) \): \[ 2(V_k - 3) = V_k + 3 \]

   Раскроем скобки: \[ 2V_k - 6 = V_k + 3 \]

   Переносим \( V_k \) и числа в одну часть: \[ 2V_k - V_k = 3 + 6 \] \[ V_k = 9 \text{ км/ч} \]

3. Теперь найдем среднюю скорость катера за всё время движения: Общее время \( T \) будет равно: \[ T = t_1 + t_2 = \frac{S}{V_k + 3} + \frac{S}{V_k - 3} \]

   Подставляем \( V_k = 9 \): \[ T = \frac{S}{9 + 3} + \frac{S}{9 - 3} = \frac{S}{12} + \frac{S}{6} \]

   Приведем к общему знаменателю: \[ T = \frac{S}{12} + \frac{2S}{12} = \frac{3S}{12} = \frac{S}{4} \]

4. Средняя скорость \( V_{ср} \) будет равна общему пути делённому на общее время: Общий путь \( S + S = 2S \): \[ V_{ср} = \frac{2S}{T} = \frac{2S}{\frac{S}{4}} = 2S \cdot \frac{4}{S} = 8 \text{ км/ч} \]

Таким образом, средняя скорость катера за всё время движения составляет 8 км/ч.