Длкажите методом математической индукции , что для любого натурального n : 1²+2²+..........+n²=(n(n+1)×(2n+1))÷6

Давайте докажем утверждение методом математической индукции. Мы хотим показать, что для любого натурального числа \( n \) выполняется равенство:

\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

Шаг 1: База индукции

Для \( n = 1 \) проверим, выполняется ли равенство:

\[ 1^2 = 1. \]

С правой стороны:

\[ \frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1. \]

Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого натурального \( k \) верно следующее равенство:

\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \]

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь нужно доказать, что верно также для \( k + 1 \):

\[ 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}. \]

Сначала подставим наше индукционное предположение:

\[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2. \]

Приведем эти два слагаемых к общему дробному знаменателю:

\[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k + 1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k + 1)^2}{6}. \]

Теперь упростим числитель:

\[ k(k+1)(2k+1) + 6(k + 1)^2. \]

Вынесем \( k + 1 \) за скобки:

\[ (k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1)) = (k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6) = (k + 1)(2k^2 + 7k + 6). \]

Теперь заметим, что \( 2k^2 + 7k + 6 \) можно разложить:

\[ 2k^2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3). \]

Таким образом, мы можем записать:

\[ k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3). \]

Теперь, подставляем это в нашу дробь:

\[ \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}. \]

Теперь осталось проверить, что это выражение соответствует:

\[ \frac{(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}. \]

Заключение

Мы показали, что если исходим из предположения для \( k \), то оно также выполняется и для \( k + 1 \). Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального \( n \).

Поздравляю с успешным решением!