На координатной прямой отметили точки А(-3) и В(21). На отрезке АВ отметили точку D. Какую координату должна иметь точка D, чтобы отрезок AD был в пять раз длиннее отрезка BD?
Чтобы определить координату точки D, которая делит отрезок AB таким образом, что отрезок AD в пять раз длиннее отрезка BD, рассмотрим следующие шаги:
Обозначим координаты точек: A(-3) и B(21).
Обозначим координату точки D как \(x\).
Длина отрезка AD будет равна \(AD = |x - (-3)| = |x + 3|\), а длина отрезка BD будет равна \(BD = |21 - x|\).
Согласно условию задачи, длина отрезка AD должна быть в 5 раз больше длины отрезка BD, что можно записать следующим уравнением:
\[ AD = 5 \cdot BD \]
Подставим выражения для AD и BD:
\[ |x + 3| = 5 \cdot |21 - x| \]
Теперь рассмотрим два случая, исходя из модулей.
Первый случай: \(x + 3 \geq 0\) и \(21 - x \geq 0\), что дает \(x \geq -3\) и \(x \leq 21\).
В этом случае у нас будет:
\[ x + 3 = 5(21 - x) \]
Решим уравнение:
\[ x + 3 = 105 - 5x \] \[ x + 5x = 105 - 3 \] \[ 6x = 102 \] \[ x = 17 \]
Теперь проверим, удовлетворяет ли эта координата условиям. Поскольку \(17\) находится между \(-3\) и \(21\), то этот случай действителен.
Второй случай: \(x + 3 < 0\) (т.е. \(x < -3\)) или \(21 - x < 0\) (т.е. \(x > 21\)) не приводят к новым значениям, так как они выходят за пределы отрезка AB.
Таким образом, координата точки D должна быть равна \(17\). Это значение делает отрезок AD в 5 раз длиннее отрезка BD.
