Теплоход прошёл 8 км по озеру, а затем 49 км по реке, впадающей в озеро, за 2 часа. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2,5 км/ч
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для скорости, расстояния и времени:
\[ s = v \cdot t, \]
где \( s \) — расстояние, \( v \) — скорость, \( t \) — время.
Теплоход прошёл 8 км по озеру и 49 км по реке. Скорость течения реки составляет 2,5 км/ч. Обозначим собственную скорость теплохода как \( v_0 \).
Для реки, где течёт течение, эффективная скорость теплохода будет равна его собственной скорости плюс скорость течения:
\[ v_{\text{река}} = v_0 + 2,5 \, \text{км/ч}. \]
Теперь найдём время, затраченное на каждую часть пути. Начнём с времени в озере:
Время в озере: \[ t_{\text{озеро}} = \frac{8}{v_0}. \]
Время в реке: \[ t_{\text{река}} = \frac{49}{v_0 + 2,5}. \]
Суммарное время равно 2 часам:
\[ t_{\text{озеро}} + t_{\text{река}} = 2. \]
Подставим выражения для времени:
\[ \frac{8}{v_0} + \frac{49}{v_0 + 2,5} = 2. \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( v_0(v_0 + 2,5) \):
\[ 8(v_0 + 2,5) + 49v_0 = 2v_0(v_0 + 2,5). \]
Раскроем скобки:
\[ 8v_0 + 20 + 49v_0 = 2v_0^2 + 5v_0. \]
Соберем все термины на одной стороне:
\[ 57v_0 + 20 = 2v_0^2 + 5v_0. \]
Преобразуем:
\[ 0 = 2v_0^2 - 52v_0 - 20. \]
Теперь упростим и решим квадратное уравнение:
\[ 2v_0^2 - 52v_0 - 20 = 0. \]
Делим на 2:
\[ v_0^2 - 26v_0 - 10 = 0. \]
Теперь используем формулу корней:
\[ v_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = -26, c = -10 \).
Подставляем значения:
\[ v_0 = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ \sqrt{676 + 40} = \sqrt{716}. \]
Рассчитаем корень:
\[ \sqrt{716} \approx 26.8. \]
Теперь подставляем в формулу:
\[ v_0 = \frac{26 \pm 26.8}{2}. \]
Рассматриваем положительное значение:
\[ v_0 = \frac{52.8}{2} = 26.4. \]
Таким образом, собственная скорость теплохода составляет примерно 26,4 км/ч.
