Найти сумму корней уравнения 6sin^2x+7cosx-7=0, принадлежащих отрезку [-3п;-п] ответы разделить на п

Чтобы найти сумму корней уравнения \(6\sin^2 x + 7\cos x - 7 = 0\) на отрезке \([-3\pi; -\pi]\), начнем с преобразования уравнения.

Учитывая, что \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), можем выразить уравнение через одну тригонометрическую функцию. Подставим \(\sin^2 x\) в уравнение:

\[ 6(1 - \cos^2 x) + 7\cos x - 7 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 6 - 6\cos^2 x + 7\cos x - 7 = 0 \]

\[ -6\cos^2 x + 7\cos x - 1 = 0 \]

Теперь умножим все уравнение на -1 для удобства:

\[ 6\cos^2 x - 7\cos x + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение в виде \(a\cos^2 x + b\cos x + c = 0\), где \(a = 6\), \(b = -7\), \(c = 1\). Используя формулу корней квадратного уравнения:

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ \cos x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{12} \]

\[ \cos x = \frac{7 \pm 5}{12} \]

Таким образом, получаем два значения:

1. \(\cos x = \frac{12}{12} = 1\)
2. \(\cos x = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)

Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для \(\cos x = 1\) и \(\cos x = \frac{1}{6}\).

1. Если \(\cos x = 1\), то \(x = 2k\pi\). На заданном отрезке \([-3\pi; -\pi]\) это значение не попадает, так как \(x = -2\pi\) (который находится в нашем отрезке).

2. Теперь найдем \(x\) для \(\cos x = \frac{1}{6}\). \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2k\pi \]

   На отрезке \([-3\pi; -\pi]\):

   • Для \(k = -2\): \[ x \approx -2\pi \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \] Значения: \[ x_1 = -2\pi + \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \quad \text{и} \quad x_2 = -2\pi - \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \]

   • Для \(k = -1\): \[ x \approx -\pi \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \] Значения: \[ x_3 = -\pi + \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \quad \text{и} \quad x_4 = -\pi - \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \]

Теперь сумма корней в пределах отрезка \([-3\pi; -\pi]\):

\[ S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \]

Суммируем их:

\[ S = (-2\pi + \arccos\left(\frac{1}{6}\right)) + (-2\pi - \arccos\left(\frac{1}{6}\right)) + (-\pi + \arccos\left(\frac{1}{6}\right)) + (-\pi - \arccos\left(\frac{1}{6}\right)) \]

Соберем все подобные члены:

\[ S = -6\pi + 2 \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \]

Поделим сумму на \(\pi\) для получения окончательного ответа:

\[ \frac{S}{\pi} = -6 + \frac{2 \arccos\left(\frac{1}{6}\right)}{\pi} \]

Таким образом, это и будет искомый ответ.