сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 10, а сумма первых 20 членов равна 80. найдите сумму первых 30 членов.
Давайте разберемся с данным заданием по арифметической прогрессии.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых n членов,
- \( a \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии.
В вашем случае:
Сумма первых 10 членов \( S_{10} = 10 \): \[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10 - 1)d) = 5(2a + 9d) = 10. \] Перепишем уравнение: \[ 2a + 9d = 2. \quad (1) \]
Сумма первых 20 членов \( S_{20} = 80 \): \[ S_{20} = \frac{20}{2} (2a + (20 - 1)d) = 10(2a + 19d) = 80. \] Перепишем уравнение: \[ 2a + 19d = 8. \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):
- \( 2a + 9d = 2 \)
- \( 2a + 19d = 8 \)
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (2a + 19d) - (2a + 9d) = 8 - 2 \] \[ 10d = 6 \] \[ d = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. \]
Теперь подставим значение \( d \) в любое из уравнений, например в (1):
\[ 2a + 9 \cdot \frac{3}{5} = 2 \] \[ 2a + \frac{27}{5} = 2 \] \[ 2a = 2 - \frac{27}{5} = \frac{10}{5} - \frac{27}{5} = -\frac{17}{5} \] \[ a = -\frac{17}{10}. \]
Теперь мы нашли первый член \( a = -\frac{17}{10} \) и разность прогрессии \( d = \frac{3}{5} \).
Теперь можем найти сумму первых 30 членов \( S_{30} \): \[ S_{30} = \frac{30}{2} (2a + (30 - 1)d) = 15(2a + 29d). \]
Вычислим \( 2a + 29d \):
\[ 2a = 2 \cdot -\frac{17}{10} = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}, \] \[ 29d = 29 \cdot \frac{3}{5} = \frac{87}{5}. \]
Теперь сложим:
\[ 2a + 29d = -\frac{17}{5} + \frac{87}{5} = \frac{70}{5} = 14. \]
Теперь подставим это значение в формулу для \( S_{30} \):
\[ S_{30} = 15 \cdot 14 = 210. \]
Таким образом, сумма первых 30 членов арифметической прогрессии равна \( 210 \).
