решить 12.

Привет! Давай вместе решим задачу номер 12.

Нам нужно решить неравенство: \[\log_{1/2}\left(3 + 2x - x^2 \right) \geq \log_2\left(\frac{3-x}{x+1}\right).\]

1. Поймем, когда логарифмы определены:

   • Для \(\log_{1/2}(3 + 2x - x^2)\), подлогарифмическое выражение должно быть положительным: \(3 + 2x - x^2 > 0\).
   • Для \(\log_2\left(\frac{3-x}{x+1}\right)\), подлогарифмическое выражение тоже должно быть положительным: \(\frac{3-x}{x+1} > 0\).

2. Решим \((3 + 2x - x^2 > 0)\): \[3 + 2x - x^2 = 0.\] Это квадратное уравнение, его можно решить через дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16\).

   Корни этого уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = -1 \pm 2.\]

   Тогда \(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\), то есть неравенство \(3 + 2x - x^2 > 0\) выполняется на промежутке \(-3 < x < 1\).

3. Теперь решим \(\frac{3-x}{x+1} > 0\): Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель одного знака. \[(3-x > 0 \text{ и } x+1 > 0) \text{ или } (3-x < 0 \text{ и } x+1 < 0).\]

   Или: \[x < 3 \text{ и } x > -1\] Или: \[x > 3 \text{ и } x < -1 \] (это противоречие, выполняться не может).

   Значит, \(x \in (-1, 3) \).

4. Объединяем эти промежутки \( \(-3 < x < 1 \) ) и \( \( -1 < x < 3 \) ): \( x \in (-1, 1) \)

5. Так как логарифм ( \log_{1/2} x ) ) убывающая функция, то знак неравенства меняется: ((-3-x^2+2x) \leq (\frac{3-x}{x+1}).

Итак, общий объединенный промежуток, -1<x<1

он от (-1,1)