20
Привет! Давай решим задачу вместе. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиками функций \( y = 9x^2 \) и \( y = (x+4)^2 \).
Найдём точки пересечения этих функций: \[ 9x^2 = (x+4)^2 \] Раскроем скобки и упростим: \[ 9x^2 = x^2 + 8x + 16 \] \[ 8x^2 - 8x - 16 = 0 \] Поделим на 8: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Значит, \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
Теперь найдём площадь, интегрируя разность указанных функций на отрезке от \( x = -1 \) до \( x = 2 \): \[ \int_{-1}^{2} [(x+4)^2 - 9x^2] \, dx \] Разложим: \[ \int_{-1}^{2} (x^2 + 8x + 16 - 9x^2) \, dx \] Упростим выражение: \[ \int_{-1}^{2} (-8x^2 + 8x + 16) \, dx \]
Интегрируем каждую часть отдельно: \[ \int_{-1}^{2} -8x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} 8x \, dx + \int_{-1}^{2} 16 \, dx \]
Решим эти интегралы: \[ \left[-\frac{8x^3}{3}\right]_{-1}^{2} + [4x^2]_{-1}^{2} + [16x]_{-1}^{2} \]
Подставим пределы: \[ \left[-\frac{8 \cdot 2^3}{3} + \frac{8 \cdot (-1)^3}{3}\right] + [4 \cdot 2^2 - 4 \cdot (-1)^2] + [16 \cdot 2 - 16 \cdot (-1)] \] \[ \left[-\frac{64}{3} + \frac{8}{3}\right] + [16 - 4] + [32 + 16] \] \[ -\frac{56}{3} + 12 + 48 \] Приведём к общему знаменателю и сложим: \[ -\frac{56}{3} + \frac{36}{3} + \frac{144}{3} = \frac{124}{3} \]
Итак, площадь S равна \(\frac{124}{3}\) квадратных единиц.
Вот и всё! Надеюсь, всё было понятно :)
