Решить

Привет! Давай разберем эту задачу вместе. Нам нужно найти предел функции:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} \right)^{3x+4} \]

Начнем с упрощения дроби внутри скобок. При больших значениях \(x\) можно считать, что \(3x^2\) будет преобладать над остальными элементами. Поэтому выражение можно аппроксимировать как:

\[ \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} \approx \frac{3x^2}{3x^2} = 1 \]

Однако, этого недостаточно, поскольку при таком приближении мы не сможем найти точный предел. Давай проведем более точную оценку. Для этого выразим дробь чуть подробнее:

\[ \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} = \frac{3x^2(1 + \frac{1}{3x^2})}{3x^2(1 - \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x^2})} = \frac{1 + \frac{1}{3x^2}}{1 - \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x^2}} \]

Теперь применим предел для дроби:

При \( x \to \infty \), \( \frac{1}{3x^2} \) и \( \frac{1}{3x} \) стремятся к нулю, поэтому:

\[ \frac{1 + \frac{1}{3x^2}}{1 - \frac{1}{3x} + \frac{1}{3x^2}} \approx 1 + \frac{1}{3x^2} - (- \frac{1}{3x}) = 1 \]

Теперь рассмотрим предел всего выражения:

\[ \left( \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} \right)^{3x+4} \approx 1^{3x+4} = 1 \]

Однако такое приближение можно рассматривать, когда \( 3x+4 \) велико. Таким образом результат будет стремиться к \( e \) с учётом малых приближений:

\[ e^{\lim_{x\to\infty} \left(3x+4 \right)\left(\ln \left( \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} \right)\right)} \]

В итоге предел будет:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{3x^2 + 1}{3x^2 - x + 1} \right)^{3x+4} = e^0 = 1 \]

Так что ответ:

\[ \boxed{1} \]