В выражении (x+y)13 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Какой коэффициент стоит перед одночленом x4y5 Какой коэффициент стоит перед одночленом x7y6
Чтобы найти коэффициенты перед одночленами \(x^4y^5\) и \(x^7y^6\) в разложении выражения \((x+y)^{13}\), мы воспользуемся биномиальной теоремой.
Биномиальная теорема утверждает, что: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
В данном случае \(a = x\), \(b = y\) и \(n = 13\).
1. Находим коэффициент перед \(x^4y^5\)
Для одночлена \(x^4y^5\) нужно, чтобы степень \(x\) была 4, а степень \(y\) была 5. Это значит, что:
- \(n - k = 4\) (степень \(x\))
- \(k = 5\) (степень \(y\))
Таким образом, \(n = k + (n-k) = 5 + 4 = 9\), что верно, так как \(n = 13\).
Теперь находим биномиальный коэффициент для \(k = 5\) при \(n = 13\): \[ \binom{13}{5} = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} \]
Вычислим это: \[ \binom{13}{5} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287 \]
Таким образом, коэффициент перед одночленом \(x^4y^5\) равен 1287.
2. Находим коэффициент перед \(x^7y^6\)
Для одночлена \(x^7y^6\) нужно, чтобы степень \(x\) была 7, а степень \(y\) была 6. Это значит, что:
- \(n - k = 7\) (степень \(x\))
- \(k = 6\) (степень \(y\))
Таким образом, \(n = k + (n-k) = 6 + 7 = 13\), что также верно.
Теперь находим биномиальный коэффициент для \(k = 6\) при \(n = 13\): \[ \binom{13}{6} = \frac{13!}{6!(13-6)!} = \frac{13!}{6! \cdot 7!} \]
Вычислим это: \[ \binom{13}{6} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1716 \]
Таким образом, коэффициент перед одночленом \(x^7y^6\) равен 1716.
Ответ:
- Коэффициент перед \(x^4y^5\) — 1287.
- Коэффициент перед \(x^7y^6\) — 1716.
