Если f(x)=x+2x^2+3x^3+....+100x^100, найдите f(1)

Чтобы найти значение функции \( f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 100x^{100} \) при \( x = 1 \), подставим 1 в уравнение.

Сначала запишем функцию:

\[ f(1) = 1 \cdot 1^1 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1^3 + \ldots + 100 \cdot 1^{100} \]

Поскольку любое число в степени 1 равно 1, у нас получится:

\[ f(1) = 1 + 2 + 3 + \ldots + 100 \]

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых \( n \) натуральных чисел:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \]

В нашем случае \( n = 100 \), поэтому:

\[ S_{100} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050 \]

Таким образом, значение \( f(1) \) равно 5050.

Итак, окончательный ответ:

\[ f(1) = 5050 \]