Х²+х-30<0
Для решения неравенства \( x^2 + x - 30 < 0 \) начнем с поиска корней соответствующего уравнения \( x^2 + x - 30 = 0 \).
Чтобы найти корни, используем формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = 1 \) и \( c = -30 \). Подставим значения в формулу:
Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121. \]
Теперь найдём корни: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5, \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6. \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -6 \).
Теперь у нас есть два корня, и мы можем разбить числовую прямую на три интервалы: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 5) \) и \( (5, +\infty) \).
Мы будем проверять знаки многочлена в этих интервалах, чтобы определить, где выполняется неравенство \( x^2 + x - 30 < 0 \).
Интервал \( (-\infty, -6) \): Выберем \( x = -7 \): \[ (-7)^2 + (-7) - 30 = 49 - 7 - 30 = 12 > 0. \]
Интервал \( (-6, 5) \): Выберем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 0 - 30 = -30 < 0. \]
Интервал \( (5, +\infty) \): Выберем \( x = 6 \): \[ 6^2 + 6 - 30 = 36 + 6 - 30 = 12 > 0. \]
Собранные результаты показывают:
- На интервале \( (-\infty, -6) \) функция положительна.
- На интервале \( (-6, 5) \) функция отрицательна.
- На интервале \( (5, +\infty) \) функция положительна.
Следовательно, неравенство \( x^2 + x - 30 < 0 \) выполняется на интервале:
\[ x \in (-6, 5). \]
Таким образом, ответ: \( (-6, 5) \).
