В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB AA1  =  4. Точка M  — середина ребра BC. а)  Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны. б)  Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.

Давайте решим задачу по пунктам.

а) Доказательство, что прямые \( B_1C \) и \( C_1M \) перпендикулярны.

1. Определим координаты вершин призмы:

   • Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(4, 0, 0) \), \( C(2, 2\sqrt{3}, 0) \) в плоскости \( z=0 \) (основная грань).
   • Тогда \( A_1(0, 0, h) \), \( B_1(4, 0, h) \), \( C_1(2, 2\sqrt{3}, h) \).

2. Найдем координаты середины ребра \( BC \):

   • \( B(4, 0, 0) \) и \( C(2, 2\sqrt{3}, 0) \).
   • \( M = \left( \frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = \left( 3, \sqrt{3}, 0 \right) \).

3. Векторы \( B_1C \) и \( C_1M \):

   • Вектор \( B_1C = C - B_1 = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0, 0 - h) = (-2, 2\sqrt{3}, -h) \).
   • Вектор \( C_1M = M - C_1 = (3 - 2, \sqrt{3} - 2\sqrt{3}, 0 - h) = (1, -\sqrt{3}, -h) \).

4. Проверка перпендикулярности:

   • Две прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.
   • Вычислим скалярное произведение векторов \( B_1C \) и \( C_1M \): \[ (-2)(1) + (2\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (-h)(-h) = -2 - 6 + h^2 = h^2 - 8. \]
   • Условие, при котором это выражение равно нулю: \[ h^2 - 8 = 0 \implies h^2 = 8 \implies h = 2\sqrt{2}. \] То есть, при любых \( h = 2\sqrt{2} \) прямые будут перпендикулярны.

б) Найдем угол между прямой \( C_1M \) и плоскостью грани \( ABB_1A_1 \).

1. Нормальный вектор плоскости грани \( ABB_1A_1 \):

   • Вершины \( A(0,0,0) \), \( B(4,0,0) \), \( A_1(0,0,h) \) задают плоскость.
   • Векторы \( AB = B - A = (4, 0, 0) \) и \( AA_1 = A_1 - A = (0, 0, h) \).
   • Нормальный вектор \( n = AB \times AA_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h \end{vmatrix} = (0, -4h, 0) \).

2. Вектор направления \( C_1M \) уже найден:

   • \( C_1M = (1, -\sqrt{3}, -h) \).

3. Найдем угол между вектором \( C_1M \) и нормальным вектором \( n \):

   • Угол между вектором и нормалью вычисляется по формуле: \[ \cos \phi = \frac{|n \cdot v|}{|n| |v|}, \] где \( v \) — вектор \( C_1M \).

4. Скалярное произведение:

   • \( n \cdot v = (0, -4h, 0) \cdot (1, -\sqrt{3}, -h) = 0 + 4h\sqrt{3} + 0 = 4h\sqrt{3} \).

5. Нормы векторов: \[ |n| = \sqrt{0^2 + (-4h)^2 + 0^2} = 4h, \] \[ |v| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + h^2} = \sqrt{1 + 3 + h^2} = \sqrt{4 + h^2}. \]

6. Подставляем в формулу: \[ \cos \phi = \frac{4h\sqrt{3}}{4h \sqrt{4 + h^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 + h^2}}. \]

Таким образом, результирующий угол между прямой \( C_1M \) и плоскостью грани \( ABB_1A_1 \) будет равен \( \phi = \arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 + h^2}} \right) \).

Если \( h = 2\sqrt{2} \): \[ 4 + h^2 = 4 + 8 = 12, \] \[ \phi = \arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \right) = \arccos\left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ. \]

Таким образом, угол между прямой \( C_1M \) и плоскостью грани \( ABB_1A_1 \) равен \( 60^\circ \).