Реши

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Тебе нужно построить график функции \( y = \frac{3x}{x^2 - 9} \) и определить, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Для начала упростим функцию. Функция \( y = \frac{3x}{x^2 - 9} \) имеет знаменатель, который можно разложить на множители: \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \) Значит, функция принимает вид: \( y = \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)} \).

2. Построим эту функцию. График имеет вертикальные асимптоты при \( x = 3 \) и \( x = -3 \), так как знаменатель обращается в ноль.

3. Теперь думаем о геометрическом размещении \(y = kx\): Прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, если значение \( k \) совпадает со значением производной функции в точке пересечения или если это точка горизонтальной асимптоты.

4. Найдем точки экстремума (где производная равна нулю) функции: \( y = \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x}{x^2 - 9} \)

5. Производная \( y \) по \( x \) равна: \( y' = \frac{(x^2 - 9) \cdot 3 - 3x \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} \) Упрощаем её: \( y' = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-3(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2} \)

6. Так как знаменатель положителен, числитель никогда не равен нулю, \( y' \neq 0 \), производная отрицательная везде.

7. Следовательно, на всей оси \( y = 0 \).

8. Значит, прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с функцией \( y = \frac{3x}{x^2 - 9} \) при \( k = 0 \).

Таким образом, при \( k = \boxed{0} \).