В выражении (3x−2)n раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Коэффициент при x2 оказался равен 216 . Введите все значения, которые может принимать n
Чтобы решить задачу, начнем с раскрытия скобок в выражении \((3x - 2)^n\). Мы можем воспользоваться биномиальной теоремой, которая гласит, что
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k, \]
где \(C(n, k)\) – это биномиальные коэффициенты, равные \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
В нашем случае \(a = 3x\) и \(b = -2\). Необходимо найти коэффициент при \(x^2\), поэтому нам нужно выбрать такие значения \(k\), чтобы \(x\) было в степени 2. Это значит, что \(a\) должно появиться в степени 2, а \(b\) – в степени \(n-2\).
Поэтому определяем:
\[ C(n, 2) (3x)^2 (-2)^{n-2}. \]
Теперь подставим это выражение:
\[ C(n, 2) \cdot 9x^2 \cdot (-2)^{n-2} = C(n, 2) \cdot 9 \cdot (-2)^{n-2} \cdot x^2. \]
Коэффициент при \(x^2\) равен \(C(n, 2) \cdot 9 \cdot (-2)^{n-2}\).
Согласно условию, этот коэффициент равен 216:
\[ C(n, 2) \cdot 9 \cdot (-2)^{n-2} = 216. \]
Теперь разделим обе части уравнения на 9:
\[ C(n, 2) \cdot (-2)^{n-2} = 24. \]
Теперь выразим биномиальный коэффициент \(C(n, 2)\):
\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}. \]
Подставим его в уравнение:
\[ \frac{n(n-1)}{2} \cdot (-2)^{n-2} = 24. \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ n(n-1) \cdot (-2)^{n-2} = 48. \]
Теперь давайте рассмотрим различные целые значения \(n\), начиная с \(n = 3\) (поскольку \(C(n, 2)\) определен только для \(n \geq 2\)):
- Если \(n = 3\):
\[ 3(3-1) \cdot (-2)^{3-2} = 3 \cdot 2 \cdot (-2)^1 = 6 \cdot (-2) = -12 \quad (\text{не соответствует } 48). \]
- Если \(n = 4\):
\[ 4(4-1) \cdot (-2)^{4-2} = 4 \cdot 3 \cdot (-2)^2 = 12 \cdot 4 = 48 \quad (\text{соответствует } 48). \]
- Если \(n = 5\):
\[ 5(5-1) \cdot (-2)^{5-2} = 5 \cdot 4 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160 \quad (\text{не соответствует } 48). \]
- Если \(n = 6\):
\[ 6(6-1) \cdot (-2)^{6-2} = 6 \cdot 5 \cdot (-2)^4 = 30 \cdot 16 = 480 \quad (\text{не соответствует } 48). \]
- Если \(n = 7\):
\[ 7(7-1) \cdot (-2)^{7-2} = 7 \cdot 6 \cdot (-2)^5 = 42 \cdot (-32) = -1344 \quad (\text{не соответствует } 48). \]
Таким образом, при рассмотрении целых значений \(n\) находим, что единственное подходящее значение для \(n\) – это \(4\). Поэтому:
Все значения, которые может принимать \(n\), это \(n = 4\).
