(3x-2)^4
Для решения выражения \((3x - 2)^4\) мы можем использовать формулу бинома Ньютона, которая позволяет разлагать выражения вида \((a + b)^n\). В нашем случае \(a = 3x\), \(b = -2\), и \(n = 4\).
Бином Ньютона записывается как:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
Где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
\[ (3x - 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3x)^{4-k} (-2)^k \]
Теперь вычислим каждый член суммы:
Для \(k = 0\): \[ \binom{4}{0} (3x)^4 (-2)^0 = 1 \cdot 81x^4 = 81x^4 \]
Для \(k = 1\): \[ \binom{4}{1} (3x)^3 (-2)^1 = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2) = -216x^3 \]
Для \(k = 2\): \[ \binom{4}{2} (3x)^2 (-2)^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 216x^2 \]
Для \(k = 3\): \[ \binom{4}{3} (3x)^1 (-2)^3 = 4 \cdot 3x \cdot (-8) = -96x \]
Для \(k = 4\): \[ \binom{4}{4} (3x)^0 (-2)^4 = 1 \cdot 16 = 16 \]
Теперь сложим все найденные члены:
\[ (3x - 2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16 \]
Таким образом, конечный ответ:
\[ (3x - 2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16 \]
